04. 선형함수와 비선형함수 - 최댓값, 최솟값, 극한, 함수의 연속

 

함수(Fucntion)란?

𝑓 : 𝐷 →𝐸 일 때, 각각의 𝑥 ∈ 𝐷를 하나의 값  𝑓(𝑥) ∈ 𝐸 에 대응시키는 규칙

 

함수는 어떤 정의역에 있는 값을 치역에 있는 값으로 대응시키는 것이다. 

 

 

선형함수(Linear Function) 

입력과 출력의 데이터의 관계가 서로 직선 형태를 보이는 함수를 말한다.

ex) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑦 = 2𝑥

 

미적분학에서 정의

함수 𝑦가 𝑥에 대하여 직선의 방정식으로 표현되면 선형함수라고 한다.

𝑓(𝑥) = a𝑥 + b, 여기서 a는 직선의 기울기, b는 𝑦 절편을 의미한다.

 

 

선형대수학에서 정의

가산성과 동차성을 모두 충족할 때 선형함수라고 한다.

(ⅰ) 가산성 : 𝑓(𝑥+𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)

(ⅱ) 동차성 : 𝑓(𝑘𝑥) = 𝑘𝑓(𝑥)

 

 

proof)

𝑓(𝑥) = c𝑥 라고 할 때, 가산성과 동차성에 대한 증명은 아래와 같다.

 

 

 

비선형 함수(Nonlinear Function)

입력의 변화와 출력의 변화가 비례하지 않는 성질을 가져 데이터 간의 관계가 직선을 보이지 않는 함수를 말한다.

즉, 선형이 아닌 함수를 말한다. 

ex) 𝑦 = 2𝑥², 𝑦 = 𝑥³

 

 

비선형 함수의 종류는 아래와 같다.

 

거듭제곱 함수 (Power Function)

 

*우함수 : 정의역 안의 모든 𝑥에 대하여 𝑓(-𝑥) = 𝑓(𝑥)를 만족하는 함수

*기함수 : 정의역 안의 모든 𝑥에 대하여 𝑓(-𝑥) = -𝑓(𝑥)를 만족하는 함수

 

 

 

거듭제곱근 함수(Root Function)

 

 

다항함수(Polynomial Function)

 

 

 

삼각함수(Trigonometric Function)

 

 

 

함수의 최댓값과 최솟값

상수 c가 함수 𝑓의 정의역 𝑫 안에 있는 수라고 할 때, 𝑫 안의 모든 𝑥에 대하여 최댓값과 최솟값은 아래와 같다.

 

최댓값 : 각 원소에 대한 함수 값 중 가장 큰 값으로 𝑓(c) ≥ 𝑓(𝑥)일 때, 최댓값은 𝑓(c)

최솟값 : 각 원소에 대한 함수 값 중 가장 작은 값으로 𝑓(c) ≤ 𝑓(𝑥)일 때, 최솟값은 𝑓(c)

 

 

꼭지점의 𝑥좌표 𝑝가 a ≤ 𝑥 ≤ b에 포함된 경우 / 꼭지점의 𝑥좌표 𝑝가 a ≤ 𝑥 ≤ b에 포함되지 않은 경우

 

최대·최소 정리 

함수 𝑓(𝑥)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면, 이 구간에서 𝑓(𝑥)는 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

 

 

함수의 극한 (Limit of a function)

𝑓(a)의 존재성과 무관하게 a의 부근에 있는 𝑥에서 함수 𝑓(𝑥)가 정의 될 때,

𝑥가 a에 가까워질수록  𝑓(𝑥)는 임의의 값 𝐿에 수렴하면,

함수 𝑓(𝑥)의 극한을  𝐿이라고 한다.

 

 

함수의 극한 유형

f(a)가 정의될 필요는 없다.

a가 정의된 경우, 정의되지 않은 경우, 정의는 되었지만 함숫값과 값이 같지 않은 경우로 나뉠 수 있다. 

 

 

함수의  한쪽 극한 (one-sided limit)

a보다 작은 값에서 다가가는 것인지, a보다 큰 값에서 다가가는 것인지에 따라 좌극한과 우극한으로 나뉜다.

 

 

극한이 존재하기 위한 필요충분 조건은

좌극한과 우극한의 값이 같아야 한다. 

 

 

 

함수의 극한에 대한 기본 성질

합의 법칙, 차의 법칙, 상수 배 법칙, 곱의 법칙, 나눗셈의 법칙이 있으며, 아래와 같다.

출처 : 빅데이터 기초 수학

 

 

또한 위의 법칙 이외에도 거듭제곱 법칙, 거듭제곱근의 법칙, 기타 등등이 있다.

 

출처 : 빅데이터 기초 수학

 

 

 

함수의 연속 (Continuity of a function)

함수 y = 𝑓(𝑥)에 대하여, 

𝑓(a)와 a에서의 극한이 존재하고, a에서의 극한과 f(a)의 값이 같다면 해당 함수는 연속이다.

 

연속 함수의 성질

 

 

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불연속 (Discontinuous)인 경우의 그래프

좌측 함수는 𝑓(0) 일 때 함숫값이 존재하지 않기 때문에 불연속 함수이다.

중간 그래프는 좌극한과 우극한의 값이 다르기 때문에 극한이 존재하지 않는다.

우측 함수는 a로의 극한 값과 a에서의 함숫값이 다르기 때문에 불연속 함수이다.